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Equilibre de Nash et théorie des jeux

L’équilibre de Nash est un concept fondamental dans la théorie des jeux, introduit par le mathématicien John Nash. Il décrit une situation dans laquelle aucun des joueurs ne peut améliorer sa situation en changeant unilatéralement sa stratégie, à condition que les autres joueurs maintiennent leurs stratégies inchangées. En d’autres termes, chaque joueur adopte une stratégie qui est la meilleure réponse aux stratégies des autres joueurs.

Pour mieux comprendre ce concept, voici quelques points clés :

  1. Définition formelle :
    Un profil de stratégies ( (s_1, s_2, …, s_n) ) est un équilibre de Nash si pour chaque joueur ( i ) et pour chaque stratégie alternative ( s_i’ ) de ce joueur, l’inégalité suivante est satisfaite :
    [
    u_i(s_i, s_{-i}) \geq u_i(s_i’, s_{-i})
    ]
    où ( u_i ) est la fonction d’utilité (ou de gain) du joueur ( i ), ( s_i ) est la stratégie choisie par le joueur ( i ), et ( s_{-i} ) représente les stratégies des autres joueurs.
  2. Interprétation :
  • Si un profil de stratégies est un équilibre de Nash, aucun joueur ne peut augmenter son utilité en choisissant une autre stratégie, tant que les autres joueurs ne changent pas leurs stratégies.
  • Un équilibre de Nash ne garantit pas nécessairement le maximum global de gains pour tous les joueurs, mais plutôt une situation de stabilité où aucun joueur n’a intérêt à dévier.
  1. Exemples classiques :
  • Dilemme du prisonnier : Dans cette situation, deux prisonniers doivent décider s’ils veulent coopérer ou trahir l’autre. L’équilibre de Nash se trouve souvent lorsque les deux prisonniers choisissent de trahir, car c’est la meilleure réponse à l’action de l’autre, même si cela conduit à un résultat sous-optimal par rapport à la coopération mutuelle.
  • Jeu de la poule mouillée (Chicken Game) : Deux conducteurs conduisent l’un vers l’autre sur une route étroite. S’ils continuent tous les deux, ils s’écrasent. Si l’un dévie et l’autre continue, le déviant est considéré comme “poule mouillée”. L’équilibre de Nash peut impliquer qu’un conducteur dévie pendant que l’autre continue.
  1. Types d’équilibre de Nash :
  • Équilibre en stratégies pures : Chaque joueur choisit une stratégie déterminée sans incertitude.
  • Équilibre en stratégies mixtes : Les joueurs choisissent une distribution de probabilités sur leurs stratégies possibles, introduisant ainsi de l’incertitude et de la randomisation dans leurs choix.
  1. Applications :
    L’équilibre de Nash est utilisé dans divers domaines, y compris l’économie, la politique, la biologie évolutive et l’intelligence artificielle. Par exemple, il aide à modéliser et à prédire les comportements des agents économiques, à analyser les conflits et les négociations politiques, à comprendre les dynamiques de compétition et de coopération dans la nature, et à concevoir des algorithmes pour des systèmes multi-agents.

En résumé, l’équilibre de Nash est une solution de stabilité dans les jeux stratégiques où chaque joueur, en tenant compte des stratégies des autres, choisit la meilleure réponse possible. C’est un outil puissant pour analyser et comprendre les interactions stratégiques dans une grande variété de contextes.