La théorie des ensembles est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les ensembles, c’est-à-dire des collections d’objets mathématiques distincts. Elle a été développée au début du 20e siècle principalement par des mathématiciens tels que Georg Cantor, Richard Dedekind, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel et d’autres. La théorie des ensembles fournit un cadre formel pour la définition et la manipulation de concepts mathématiques tels que les nombres, les fonctions, les relations, et bien d’autres.
Voici quelques concepts et idées clés de la théorie des ensembles :
- Ensemble: Un ensemble est une collection d’objets mathématiques, appelés éléments, qui sont considérés comme distincts les uns des autres. Par exemple, l’ensemble des nombres entiers positifs {1, 2, 3, 4, …} est un ensemble.
- Notation ensembliste: Les ensembles sont généralement notés à l’aide de lettres majuscules (par exemple, A, B, C) et les éléments sont énumérés entre accolades. Par exemple, A = {1, 2, 3} indique que A est l’ensemble contenant les éléments 1, 2 et 3.
- Opérations sur les ensembles: La théorie des ensembles définit plusieurs opérations permettant de combiner, comparer ou manipuler des ensembles, notamment l’union, l’intersection, la différence, et le complément.
- Ensemble vide: L’ensemble vide, noté par ∅ ou {}, est un ensemble qui ne contient aucun élément.
- Ensemble universel: L’ensemble universel, souvent noté U, est l’ensemble qui contient tous les éléments considérés dans un contexte donné.
- Ensemble fini et ensemble infini: Un ensemble est dit fini s’il contient un nombre fini d’éléments, et infini s’il contient une infinité d’éléments.
- Axiomes de Zermelo-Fraenkel: La théorie des ensembles repose sur un ensemble d’axiomes, appelés axiomes de Zermelo-Fraenkel (ZF), qui énoncent les règles de base pour la manipulation des ensembles. L’axiome du choix (AC) est parfois ajouté à ZF pour former ZFC, une extension commune de la théorie des ensembles.
- Théorème de Cantor: Un résultat célèbre de la théorie des ensembles est le théorème de Cantor, qui démontre que l’ensemble des réels est strictement plus grand (a une cardinalité supérieure) que l’ensemble des entiers naturels. Cela révèle l’existence d’ensembles infinis de différentes tailles.
La théorie des ensembles est utilisée comme fondement pour de nombreuses branches des mathématiques, y compris la théorie des nombres, la topologie, l’analyse mathématique, et bien d’autres. Elle joue également un rôle essentiel en logique mathématique et en informatique théorique.