Le calcul infinitésimal, également connu sous le nom de calcul différentiel et intégral, est une branche des mathématiques qui se concentre sur l’étude du changement et de la continuité. Il a été développé au XVIIe siècle par des mathématiciens tels que Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz, de manière indépendante.
Le calcul infinitésimal repose sur deux concepts fondamentaux : la dérivation (calcul différentiel) et l’intégration (calcul intégral).
- Dérivation (Calcul Différentiel) : La dérivation traite des taux de changement instantané. Elle permet de calculer la pente d’une courbe à un point donné et de comprendre comment une fonction varie localement. La dérivée d’une fonction f(x) est notée f'(x) ou df/dx, et elle mesure la variation de la fonction par rapport à la variable x.
- Intégration (Calcul Intégral) : L’intégration est l’inverse de la dérivation. Elle permet de trouver l’aire sous une courbe ou la somme des petites quantités infiniment petites (infinitésimales) qui constituent une fonction. L’intégrale d’une fonction f(x) est notée ∫f(x) dx et elle représente la somme cumulative de f(x) par rapport à x.
Le calcul infinitésimal est largement utilisé en physique, en ingénierie, en économie et dans de nombreuses autres disciplines pour modéliser et résoudre des problèmes qui impliquent des quantités qui varient en fonction du temps, de la distance ou d’autres paramètres continus. Il a été essentiel dans le développement de la mécanique newtonienne, de la théorie de la relativité d’Einstein, de la mécanique quantique et dans de nombreuses autres théories scientifiques.
Les principes du calcul infinitésimal reposent sur la notion de limite, où l’on examine comment les quantités changent à mesure que leurs variations deviennent de plus en plus petites. Le calcul infinitésimal a également conduit au développement de la théorie des séries infinies, des équations différentielles et d’autres outils mathématiques puissants pour la modélisation et la résolution de problèmes complexes.